Question

（2012•徐州模拟）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，半径分别为R，r（R＞r＞0）的两圆⊙O，⊙O₁内切于点T，P是外圆⊙O上任意一点，连PT交⊙O₁于点M，PN与内圆⊙O₁相切，切点为N．求证：PN：PM为定值．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=

2 1 3 4

（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）求矩阵M的特征值及特征向量；
C．选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系x0y中，求圆C的参数方程为

x=-1+rcosθ y=rsinθ

(θ为参数r＞0），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+

π

4

)=2

2

．若直线l与圆C相切，求r的值．
D．选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=1，a²+b²+c²=1，求证：1＜a+b＜

4

3

．

Answer 1

分析：A．先作出两圆的公切线TQ，连接OP，O₁M，利用切割线定理得比例关系式，再由弦切角定理知证得OP∥O₁M，最后平行线分线段成比例即可证出

PM

PN

=

PN

PT

=

R-r R

为定值．
B．（1）根据逆矩阵的计算公式直接写出矩阵M的逆矩阵；
（2）根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
C．先将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，将圆C的参数方程化为普通方程，再利用直线和圆的位置关系结合点到直线的距离公式求解即可．
D．利用条件得到a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的两个不等实根，从而由根的判别式大于0得到c的范围，再结合（c-a）（c-b）=c²-（a+b）c+ab＞0，及a＞b＞c，最后得到-

1

3

＜c＜0，从而有1＜a+b＜

4

3

．

解答：解：A．作两圆的公切线TQ，连接OP，O₁M，
则PN²=PM•PT，所以

PN2

PT2

=

PM

PT

．…（3分）
由弦切角定理知，∠POT=2∠PTQ，∠MO₁T=2∠PTQ，于是∠POT=∠MO₁T，
所以OP∥O₁M，…（6分）
所以

PM

PT

=

OO1

OT

=

R-r

R

，所以

PN2

PT2

=

R-r

R

，…（8分）
所以

PM

PN

=

PN

PT

=

R-r R

为定值．   …（10分）
B．（1）M-1=

4 5 - 1 5 - 3 5 2 5

．…（4分）
（2）矩阵A的特征多项式为f(x)=

.

λ-2 -1 -3 λ-4

.

=(λ-2)(λ-4)-3=λ2-6λ+5，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为1或5，…（6分）
当λ=1时 由二元一次方程

-x-y=0 -3x-3y=0

得x+y=0，令x=1，则y=-1，
所以特征值λ=1对应的特征向量为α1=

1 -1

．…（8分）
当λ=5时 由二元一次方程

3x-y=0 -3x+y=0

得3x-y=0，令x=1，则y=3，
所以特征值λ=5对应的特征向量为α2=

1 3

．…（10分）
C．将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得：x-y-4=0，…（3分）
将圆C的参数方程化为普通方程得：（x+1）²+y²=r²，…（6分）
由题设知：圆心C（-1，0）到直线l的距离为r，即r=

|(-1)-0-4|

12+(-1)2

=

5 2

2

，
即r的值为

5 2

2

．…（10分）
D．因为a+b=1-c，ab=

(a+b)2-(a2+b2)

2

=c²-c，…（3分）
所以a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的两个不等实根，
则△=（1-c）²-4（c²-c）＞0，得-

1

3

＜c＜1，…（5分）
而（c-a）（c-b）=c²-（a+b）c+ab＞0，
即c²-（1-c）c+c²-c＞0，得c＜0，或c＞

2

3

，…（8分）
又因为a＞b＞c，所以c＜0．所以-

1

3

＜c＜0，即1＜a+b＜

4

3

．   …（10分）

点评：本题主要考查一般形式的柯西不等式、圆的有关知识，逆变换与逆矩阵，考查运算求解能力还考查曲线的极坐标方程等基本知识．