Question

请先阅读：
设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=

C

0n

+

C

1n

x+

C

2n

x2+…+

C

nn

xn（x∈R，整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=2

C

2n

x+3

C

3n

x2+4

C

4n

x3+…+n

C

nn

xn-1；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求

C

1n

-2

C

2n

+3

C

3n

-…+(-1)n-1n

C

nn

的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：2

C

2n

-3•2

C

3n

+4•3

C

4n

+…+(-1)n-2n(n-1)

C

nn

=0．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²++C_nⁿxⁿ
两边对x求导得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1
移项得n[(1+x)n-1-1]=2

C

2n

x+3

C

3n

x2+4

C

4n

x3+…+n

C

nn

xn-1；
（Ⅱ）当整数n≥3时，n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1中，令x=-1，可得

C

1n

-2

C

2n

+3

C

3n

-…+(-1)n-1n

C

nn

=（-1）^n-1n；
（Ⅲ）证明：当整数n≥3时，∵n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，
求导函数，可得（n-1）n（1+x）^n-2=+2C_n²+…+n（n-1）C_nⁿx^n-2，
令x=-1，可得2

C

2n

-3•2

C

3n

+4•3

C

4n

+…+(-1)n-2n(n-1)

C

nn

=0．