Question

已知{a_n}是正数组成的数列，其前n项和2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），数列{b_n}满足，．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_nb_n（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

解：（I），∴a₁=1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=，
∴a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
于是b_n+1=b_n+3ⁿ，∴b_n+1-b_n=3ⁿ，b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=．
（II），
∴，，
∴==，
，
∴
=
=．
分析：（I）由题设知a₁=1，a_n=S_n-S_n-1=，a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由此能导出a_n=n．于是b_n+1=b_n+3ⁿ，b_n+1-b_n=3ⁿ，由此能求出b_n．
（II），，由错位相减法能求出，由此能得到==．
点评：第（I）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意迭代法的合理运用；第（II）题考查前n项和的计算和极限在数列中的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．