Question

已知数列a_n的前n项和
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证：数列b_n是等差数列，并求数列a_n的通项公式．
（2）令，试比较T_n与的大小，并予以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知S₁=-a₁-1+2=a₁，，所以2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1，b_n=b_n-1+1，再由b₁=2a₁=1，知数列b_n是首项和公差均为1的等差数列．于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，所以
（2），，利用错位相减求和法可知，于是确定T_n与的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小．猜想当n=1，2时，2ⁿ＜2n+1，当n≥3时，2ⁿ＞2n+1．然后用数学归纳法证明．
解答：解：（1）在中，令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，即
当n≥2时，
所以
所以，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1
因为b_n=2ⁿa_n，所以b_n=b_n-1+1，即当n≥2时，b_n-b_n-1=1
又b₁=2a₁=1，所以数列b_n是首项和公差均为1的等差数列
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，所以
（2）由1）得
所以①②
由①-②得
所以
于是确定T_n与的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小．
猜想当n=1，2时，2ⁿ＜2n+1，当n≥3时，2ⁿ＞2n+1
下面用数学归纳法证明：
当n=3时，显然成立
假设当n=k（k≥3）时，2^k＞2k+1成立
则当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时，猜想也成立．
于是，当n≥3，n∈N^*时，2ⁿ＞2n+1成立
综上所述，当n=1，2时，，
当n≥3时，
点评：本题考查当数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，解题时要注意数学归纳法的解题过程．