Question

设f(n)＝2ⁿ－1(n∈N^*)，试问：n是怎样的自然数时，f(n)是素数还是分数？

Answer 1

答案：
解析：

　　导思：对于此类问题，我们在推理的过程中，可以采用归纳推理，也可应用演绎推理，把两种方法结合起来，由归纳获得猜想假定，通过鉴别猜想假定的真伪，获得确定结果后，再给予演绎证明．

　　探究：试验——归纳——猜想．

　　取n＝1，2，…，10，所得结果列表如下：

　　由上表可知，当n为素数2，3，，5，7时，f(n)为素数；当n为合数4，6，8，9时，f(n)为合数．

　　继续试探，当n＝11时，f(n)＝2¹¹－1＝2047＝23×89为合数．因此要放弃“n为素数时，f(n)为素数”的猜想．

　　再继续试验，当n＝12，14时，f(n)仍为合数，于是进一步猜想“n为合数时，f(n)为合数．”

　　用演绎法推证：

　　设n为合数，令n＝ml(m、l为大于1的自然数)，则

　　f(n)＝2ⁿ－1＝2^ml－1＝(2^m)^l－1^l

　　＝(2^m－1)[(2^m)^l－1＋(2^m)^l－2＋…＋(2m)^l－1]

　　因此2^ml－1可被2^m－1整除，又因为m＞1，l＞1，所以1＜2^m－1＜2^ml－1．据此可断定“n为合数时，f(n)是合数”为真．