Question

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函数得：b=0②
又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f'（0）=c=﹣1③
由①②③得： ，即 
（Ⅱ）由已知得：存在x∈[1，e]，使 
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx﹣x³+x
设 ，则M'（x）=lnx﹣3x²+2
设H（x）=M'（x）=lnx﹣3x²+2，则 
∵x∈[1，e]，∴H'（x）＜0，即H（x）在[1，e]递减
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤﹣1＜0，即M'（x）＜0
∴M（x）在[1，e]上递减，
∴M（x）≥M（e）=2e﹣e³
于是有m＞2e﹣e³为所求．