Question

1．已知△ABC的三边所在的直线方程是AB：x+y+3=0，BC：3x-y+1=0，AC：3x+2y+1=0，求
（1）AB边上的高CM所在直线方程；
（2）△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由直线BC、AC的方程求出点C的坐标，利用AB⊥CM，求出斜率k_CM，写出AB边上的高CM的直线方程；
（2）求出点C到直线AB的距离d，再求出边长|AB|，即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由直线BC、AC的方程组成方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x-y+1=0}\\{3x+2y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
所以点C（-$\frac{1}{3}$，0）；              
又因为k_AB=-1，AB⊥CM，所以k_CM=1，
所以AB边上的高CM所在直线的方程为
y=x+$\frac{1}{3}$，即3x-3y+1=0；
（2）因为点C（-$\frac{1}{3}$，0）到直线AB的距离为
d=$\frac{|-\frac{1}{3}+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
由直线AB、BC的方程组成方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y+3=0}\\{3x-y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
所以点B（-1，-2）；
由直线AB、AC的方程组成方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y+3=0}\\{3x+2y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-8}\end{array}\right.$，
所以A（5，-8）；
所以|AB|=$\sqrt{{（-1-5）}^{2}{+（-2+8）}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面积为
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$×$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=8．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了直线垂直以及两点间的距离和点到直线的距离的计算问题，是基础题目．