Question

（2012•石家庄一模）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-2，0）、B（2，0），M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为-

1

4

，设动点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）过定点T（-1，0）的动直线l与曲线C交于P，Q两点，若S（-

17

8

，0），证明：

SP

•

SQ

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为-

1

4

，建立方程，化简可得结论；
（Ⅱ）当动直线l的斜率不存在时，P（-1，

3

2

），Q（-1，-

3

2

），可得

SP

•

SQ

=

33

64

；当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程联立方程组，消去y得一元二次方程，利用韦达定理及向量的数量积运算，可得结论．

解答：（Ⅰ）解：设M点坐标为（x，y）（x≠±2）
∵定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为-

1

4

，
∴

y

x+2

×

y

x-2

=-

1

4

，
∴

x2

4

+y2=1（x≠±2）
（Ⅱ）证明：当动直线l的斜率不存在时，P（-1，

3

2

），Q（-1，-

3

2

），若S（-

17

8

，0），

SP

•

SQ

=

33

64

．
当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），联立方程组，消去y得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-4

1+4k2

∴

SP

=（x₁+

17

8

，y1），

SQ

=（x₂+

17

8

，y2），
∴

SP

•

SQ

=（x₁+

17

8

，y1）•（x₂+

17

8

，y2）=

-4(1+4k2)

1+4k2

+

172

82

=

33

64

．

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查存在性问题的探究，解题的关键是用坐标表示出

SP

•

SQ

，进而确定定值．