如下图所示.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形.AB∥DC..PA⊥底面ABCD.且.M是PB的中点． (1)证明:面PAD⊥面PCD, (2)求AC与PB所成的角的余弦值, (3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如下图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，，PA⊥底面ABCD，且，M是PB的中点．

(1)证明：面PAD⊥面PCD；

(2)求AC与PB所成的角的余弦值；

(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.

答案：略
解析：

证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理，得CD⊥PD．

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD、PD都垂直，∴CD⊥面PAD．

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD．

(2)解：过点B作BE∥CA，且BE=CA．

则是AC与PB所成的角或是其补角.连结AE，可知，又AB=2，

∴四边形ACBE为正方形(如图)．

由PA⊥面ABCD，得，

在中，，

∴．

(3)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.在中，AM=MB，

又AC=CB，∴，

∴BN⊥CM，故为所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在中，CM=MB，

∴CM=AM．

∵在等腰三角形AMC中，

，

∴.∵AB=2，

∴.

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