Question

（2011•南通三模）在△ABC中，a²+c²=2b²，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长．
（1）求证：B≤

π

3

；
（2）若B=

π

4

，且A为钝角，求A．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理求得cosB= 

a2+c2

4ac

，由a²+c²≥2ac，得cosB≥

1

2

，再由0＜B＜π 得 B≤

π

3

，命题得证．
（2）正弦由定理及B=

π

4

，故sin²A=cos²C，因为A为钝角，故sinA=cosC=cos(

3

4

π-A)=sin(A-

π

4

)，故有A+(A-

π

4

)=π（或A=A-

π

4

，不合，舍），从而求得A的值．

解答：解：（1）由余弦定理，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2

4ac

． …（3分）
因a²+c²≥2ac，∴cosB≥

1

2

．…（6分）     
由0＜B＜π，得  B≤

π

3

，命题得证． …（7分）
（2）正弦由定理得sin²A+sin²C=2sin²B． …（10分）
因B=

π

4

，故2sin²B=1，于是sin²A=cos²C．…（12分）
因为A为钝角，所以sinA=cosC=cos(

3

4

π-A)=sin(A-

π

4

)．
所以A+(A-

π

4

)=π（或A=A-

π

4

，不合，舍），
解得A=

5π

8

． …（14分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于中档题．