Question

已知函数.

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（Ⅲ）若，且至少存在一点，使得成立，求实数 的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】(I)先确定,然后可写出点斜式方程再化成一般式即可.

当时，函数

………………………………………………2分

曲线在点处的切线的斜率为从而曲线在点处的切线方程为即……………………………………4分

（II）转化为不等式在内恒成立问题来解决.

令

要使在定义域内是增函数，只需………………………………6分

即故正实数的取值范围是c……………7分

（III）在上是减函数，时，时，即然后讨论p<0和p=0和三种情况来确定f(x)的最大值，本小题实质是满足.

在上是减函数，时，时，即………………………………………………………………………………9分

①当时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数.当时，，因为所以此时，在内是减函数.故当时，在上单调递减不合题意；               ………………………11分

②当时，由（2）知在上是增函数，又在上是减数，故只需而即解得所以实数的取值范围是.…………………………………………13分