Question

13．设函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0，x∈R），且以2π为最小正周期．
（Ⅰ）求f（π）的值；
（Ⅱ）已知f（a+$\frac{π}{6}$）=$\frac{10}{13}$，a∈（-$\frac{π}{2}$，0），求sin（a-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosa的值，可得sina的值，再利用两角差的正弦公式，求得sin（a-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）由于函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0，x∈R）以2π为最小正周期，
故有 $\frac{2π}{ω}$=2π，求得ω=1，∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）∵已知f（a+$\frac{π}{6}$）=$\frac{10}{13}$，a∈（-$\frac{π}{2}$，0），∴2sin（a+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=2cosa=$\frac{10}{13}$，
∴cosa=$\frac{5}{13}$，∴sina=-$\sqrt{{1-cos}^{2}a}$=-$\frac{12}{13}$，
求sin（a-$\frac{π}{4}$）=sinacos$\frac{π}{4}$-cosasin$\frac{π}{4}$=-$\frac{12}{13}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{5}{13}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{17\sqrt{2}}{26}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，属于基础题．