Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值

Answer 1

分析：法一（Ⅰ）证明平面PDC内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线PA，AD，即可证明CD⊥平面PAD，推出平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，说明∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角，解三角形EFO求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）延长AE，过D作DG垂直AE于G，连接CG，说明∠DCH是直线与平面所成的角，解三角形DCG，求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．
法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）利用

CD

•

AD

=0，

CD

•

AP

=0，推出CD⊥AD，CD⊥AP，说明CD⊥平面PAD，证明平面PDC⊥平面PAD．
（Ⅱ）求出平面AEC的法向量

n

，平面ABC的法向量

AP

，利用cos?

n

，

AP

?=

n • AP

| n |×| AP |

求解即可．
（Ⅲ平面的法向量是

n

，求出

CD

，利用cosθ=

n • CD

| n |•| CD |

，求出直线CD与平面AEC所成角的正弦值

2

3

．

解答：解：法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABC，
∴PA⊥CD．（2分）
∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD．
而PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．（4分）
CD?平面PDC∴平面PDC⊥平面PAD．（5分）
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，则EO∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
过O作OF⊥AC交AC于F，连接EF，
则∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角．（7分）
由PA=2，则EO=1．
在Rt△ADC中，AD×CD=AC×h解得h=

4 5

5

．
因为O是AD的中点，所以OF=

2 5

5

．（8分）
而EO=1，由勾股定理可得EO=

3 5

5

．（9分）cos∠EFO=

OF

EF

=

2 5 5

3 5 5

=

2

3

．（10分）

（Ⅲ）延长AE，过D作DG垂直AE于G，连接CG，
又∵CD⊥AE，∴AE⊥平面CDG，
过D作DH垂直CG于H，则AE⊥DH，
所以DH⊥平面AGC，即DH⊥平面AEC，
所以CD在平面ACE内的射影是CH，∠DCH是直线与平面所成的角．（12分）
∵DG=AD•sin∠DAG=AD•sin∠OAE=AD•

OE

AE

=4×

1

5

=

4 5

5

．CD=2
∴CG=

16×5 25 +4

=

6 5

5

．
∴sin∠DCG=

DG

CG

=

4 5 5

6 5 5

=

2

3

．（14分）
解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），E（0，2，1），P（0，0，2）．（2分）
∴

AB

=（2，0，0），

AD

=（0，4，0），

AP

=（0，0，2），

CD

=（-2，0，0），

AE

=（0，2，1），

AC

=（2，4，0）． （3分）
（Ⅰ）∵

CD

•

AD

=0，∴CD⊥AD．
又∵

CD

•

AP

=0，∴CD⊥AP．（5分）
∵AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
而CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．（7分）
（Ⅱ）设平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），令z=1，则

n

=(x，y，1)．
由

n • AE =0 n • AC =0

即

(x，y，1)•(0，2，1)=0 (x，y，1)•(2，4，0)=0

?

2y+1=0 2x+4y=0

?

x=1 y=- 1 2

∴

n

=(1，-

1

2

，1)．（9分）
平面ABC的法向量

AP

=（0，0，2）.cos?

n

，

AP

?=

n • AP

| n |×| AP |

=

2

3 2 ×2

=

2

3

．
所以二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是

2

3

．（11分）
（Ⅲ）因为平面的法向量是

n

=(1，-

1

2

，1)，而

CD

=（-2，0，0）．
所以cosθ=

n • CD

| n |•| CD |

=

-2

3 2 ×2

=-

2

3

．（13分）
直线CD与平面AEC所成角的正弦值

2

3

．（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．