Question

20、关于正整数2160，求：
（1）它有多少个不同的正因数？
（2）它的所有正因数的和是多少？

Answer 1

分析：（1）我们要求正整数2160正因数的个数，我们可以将N=2160进行分解，然后利用2160的正因数为P=2^α×3^β×5^γ，再根据排列组合公式即可得到2160的正因数的个数．
（2）我们要求正整数2160正因数的和，我们可以根据式子（2⁰+2¹+2²+2³+2⁴）×（3⁰+3¹+3²+3³）×（5⁰+5¹）的展开式就是40个正因数．展开求和，即可得到答案．

解答：解：（1）∵N=2160=2⁴×3³×5，
∴2160的正因数为P=2^α×3^β×5^γ，
其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1．
∴2160的正因数共有5×4×2=40个．
（2）式子（2⁰+2¹+2²+2³+2⁴）×（3⁰+3¹+3²+3³）×（5⁰+5¹）
的展开式就是40个正因数．
∴正因数之和为31×40×6=7440．

点评：我们要求正整数N正因数的个数，我们可以将N进行分解，然后利用N的正因数为P，再根据排列组合公式即可得到N的正因数的个数．