Question

已知定义域为x∈R|x≠0的函数f（x）满足；
①对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0；
②当x＞0时，f（x）=x²-2．
（Ⅰ）求f（x）定义域上的解析式；
（Ⅱ）解不等式：f（x）＜x．

Answer 1

分析：（I）根据条件①变形，得到f（x）在定义域内是奇函数，设x小于0，得到-x大于0，代入②中f（x）的解析式中化简后即可得到x小于0时f（x）的解析式，综上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函数解析式；
（II）当x大于0时和小于0时，把（I）得到的相应的解析式代入不等式中，分别求出相应的解集，然后求出两解集的并集即为原不等式的解集．

解答：解：（I）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数（2分）
∵当x＞0时，f（x）=x²-2，
设x＜0，所以-x＞0，
∴f（-x）=-f（x）=x²-2，即f（x）=2-x²，
则f(x)=

x2-2(x＞0) 2-x2(x＜0)

；（6分）
（II）∵当x＞0时，x²-2＜x，
化简得（x-2）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜2，
所以不等式的解集为0＜x＜2；
当x＜0时，2-x²＜x，
化简得：（x-1）（x+2）＞0，
解得：x＞1或x＜-2，
所以不等式的解集为x＜-2，
综上，不等式f（x）＜x的解集为{x|0＜x＜2或x＜-2}．（10分）

点评：此题要求学生掌握奇函数的性质及确定方法，考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．