Question

【题目】某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．
（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？
（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？

Answer 1

【答案】
（1）解：把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A44种，

且甲、乙的位置还可以互换

∴不同站法有A44A22=48种．

（2）解：除甲乙两人外其余3人的排列数为A33，

而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻；

且甲、乙位置可以互换．故有C42A22种排列方式．

∴不同站法有A33C42A22=72种．

（3）解：优先考虑甲：

若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为A44种；

若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，

再从除最右端的省余的3个位置给

乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为C31C31A33种；

∴不同站法有A44+C31C31A33=78种．

【解析】（1）根据题意甲乙两人必须相邻的站法，把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A44种，且甲、乙的位置还可以互换根据分步计数原理，得到结果．（2）除甲乙两人外其余3人的排列数为A33 ， 而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻；且甲、乙位置可以互换．故有C42A22种排列方式（3）若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为A44种；若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，再从除最右端的省余的3个位置给乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为C31C31A33种；