Question

【题目】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．

(1)求证：FC∥平面EAD；

(2)求二面角A－FC－B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)先证明平面FBC∥平面EAD，即证明FC∥平面EAD.(2)利用向量法求二面角A－FC－B的余弦值．

(1)证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，

∴AD∥BC，DE∥BF．

∵AD平面FBC，DE平面FBC，

∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，

又AD∩DE＝D，AD平面EAD，DE平面EAD，

∴平面FBC∥平面EAD，

又FC平面FBC，∴FC∥平面EAD．

(2)连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形，

∵O为BD中点．所以FO⊥BD，O为AC中点，且FA＝FC，

∴AC⊥FO，

又AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD，

∴OA、OB、OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，

设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，

则BD＝2，OB＝1，OA＝OF＝，

∴O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，F(0,0，)，

∴＝(，0，)，＝(，1,0)，

设平面BFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则有∴

令x＝1，则n＝(1，－，－1)，

∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为＝(0,1,0)．

∵二面角A－FC－B为锐二面角，设二面角的平面角为θ，

∴cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，

∴二面角A－FC－B的余弦值为．