Question

设Z₁是虚数，Z₂=Z₁+

1

Z1

是实数，且-1≤Z₂≤1．
（1）求|Z₁|的值以及Z₁的实部的取值范围；
（2）若ω=

1-Z1

1+Z1

．求证ω为纯虚数．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）设z₁=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则z2=z1+

1

z1

=（a+

a

a2+b2

）+（b-

b

a2+b2

），由z₁是实数，得a²+b²=1，由此求出z₁的实部的取值范围为[-

1

2

，

1

2

]．
（2）ω=

1-Z1

1+Z1

=

1-a-bi

1+a+bi

=

1-a2-b2-2bi

(1+a)2+b2

=

b

a+1

i，由此能证明ω=

1-Z1

1+Z1

是纯虚数．

解答： （1）解：设z₁=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），
则z2=z1+

1

z1

=a+bi+

1

a+bi

=（a+

a

a2+b2

）+（b-

b

a2+b2

）i，
∵z₂是实数，b≠0，∴a²+b²=1，即|z₁|=1，且z₂=2a，
由-1≤z₂≤1，得-1≤2a≤1，解得-

1

2

≤a≤

1

2

，
即z₁的实部的取值范围为[-

1

2

，

1

2

]．
（2）证明：ω=

1-Z1

1+Z1

=

1-a-bi

1+a+bi

=

1-a2-b2-2bi

(1+a)2+b2

=

b

a+1

i，
∵a∈[-

1

2

，

1

2

]，b≠0，
∴ω=

1-Z1

1+Z1

是纯虚数．

点评：本题考查复数的实部的取值范围的求法，考查纯虚数的证明，解题时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用．