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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    精英家教网一走廊拐角下的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧BC相切于B、C两点，EF∥AB，GH∥CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m．
    （1）若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P．设∠CMN=θ（rad），试用θ表示木棒MN和长度f（θ）．
    （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．
    分析：（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W．在Rt△NWS中用NW和∠SNW表示出NS，在Rt△QPS中用PQ和∠PQS表示出QS，然后分别看S在线段TG上和在线段GT的延长线上分别表示出TS=QT-QS，然后在Rt△STM中表示出MS，利用MN=NS+MS求得MN的表达式和f（θ）的表达式．
    （2）设出sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ可用t表示出，然后可得f（θ）关于t的表达式，对函数进行求导，根据t的范围判断出导函数小于0推断出函数为减函数．进而根据t的范围求得函数的最小值．
    解答：精英家教网解：（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W．
    在Rt△NWS中，因为NW=2，∠SNW=θ，
    所以NS=
    2
    cosθ
    ．
    因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN，
    在Rt△QPS，因为PQ=1，∠PQS=θ，
    所以QS=
    1
    cosθ
    ，QT-QS=2-
    1
    cosθ
    ，
    ①若M在线段TD上，即S在线段TG上，则TS=QT-QS，
    在Rt△STM中，MS=
    TS
    sinθ
    =
    QT-QS
    sinθ
    ，
    因此MN=NS+MS=NS+
    QT-QS
    sinθ
    ．
    ②若M在线段CT上，即若S在线段GT的延长线上，则TS=QS-QT，
    在Rt△STM中，MS=
    TS
    sinθ
    =
    QS-QT
    sinθ
    ，
    因此MN=NS-MS=NS-
    QS-QT
    sinθ
    =NS+
    QT-QS
    sinθ
    ．
    f（θ）=MN=NS+
    QT-QS
    sinθ
    =
    2
    cosθ
    +(
    2
    sinθ
    -
    1
    sinθcosθ
    )    =
    2(sinθ+cosθ)-1
    sinθcosθ
     (0＜θ＜
    π
    2
    )    ．
    （2）设sinθ+cosθ=t (1＜t≤
    		2
    )    ，则sinθcosθ=
    t2-1
    2
    ，
    因此f(θ)=g(t)=
    4t-2
    t2-1
    ．因为g′(t)=-
    4(t2-t+1)
    (t2-1)2
    ，又1＜t≤
    		2
    ，所以g′（t）＜0恒成立，
    因此函数g(t)=
    4t-2
    t2-1
    在t∈(1，
    		2
    ]    是减函数，所以g(t)min=g(
    		2
    )=4
    		2
    -2    ，
    即MNmin=4
    		2
    -2    ．
    答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为4
    		2
    -2    ．
    点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，基本的运算能力．
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