Question

如图所示，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是线段AC上任意一点．
（1）判断直线B₁P与平面A₁C₁D的位置关系并证明；
（2）若AB=BC，E是AB中点，二面角A₁-DC₁-D₁的余弦值是

10

5

，求直线B₁E与平面A₁C₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）直线B₁P∥平面A₁C₁D，证明平面AB₁C∥平面A₁C₁D，利用面面平行的性质，即可求得B₁P∥平面A₁C₁D；
（2）建立直角坐标系，求出平面A₁C₁D、平面D₁C₁D的法向量，利用二面角A₁-DC₁-D₁的余弦值是

10

5

，确定

EB1

=(0，

1

2

，

2

)，再利用向量的夹角公式，可求直线B₁E与平面A₁C₁D所成角的正弦值．

解答：解：（1）直线B₁P∥平面A₁C₁D，证明如下：

连接AB₁与B₁C，则A₁C₁∥AC，A₁D∥B₁C
∵AC∩B₁C=C
∴平面AB₁C∥平面A₁C₁D
∵B₁P?平面AB₁C
∴B₁P∥平面A₁C₁D；
（2）建立如图所示的直角坐标系，

设A（1，0，0），D₁（0，0，a），则C₁（0，1，a），C（0，1，0），A（1，0，a），B（1，

1

2

，0），B₁（1，1，a）
∴

DA1

=(1，0，a)，

DC1

=(0，1，a)
设平面A₁C₁D的法向量为

n

=（x，y，z），则

x+az=0 y+az=0

，∴可取

n

=(a，a，-1)
∵平面D₁C₁D的法向量为

DA

=(1，0，0)
∴cos＜

n

，

DA

＞=

a

2a2+1

=

10

5

∴a=

2

∴

EB1

=(0，

1

2

，

2

)
∴cos＜

n

，

EB1

＞=

2 2 - 2

5 × 3 2

=-

10

15

∴直线B₁E与平面A₁C₁D所成角的正弦值

10

15

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题．