Question

（2012•芜湖三模）已知函数f（（x）=|lnx-

a

x

|-1（a∈R）．
（Ⅰ）设g（x）=lnx-

a

x

，若a=e，求函数g（x）的零点；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设g（x）=lnx-

a

x

，利用导数研究函数的单调性，再利用单调函数的零点是唯一的，从而得出结论．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|g（x）|-1，当 0＜x＜e 时，g（x）＜0 且g（x）单调递增，故函数f（x）单调递减． 当 x＞e 时，g（x）＞0 且g（x）单调递增，故函数f（x）单调递增，由此得出结论．
（Ⅲ）f（x）＞0恒成立，等价于 lnx-

a

x

|＞1，或 lnx-

a

x

＜-1．①若 lnx-

a

x

＞1，则 a＜xlnx-x 恒成立，利用导数求出xlnx-x的最小值，从而求得实数a的取值范围．
②若 lnx-

a

x

＜-1，则 a＞xlnx-x 恒成立，由x＞0 可得，这不可能恒成立．综合①②得出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设g（x）=lnx-

a

x

，若a=e，则有 g^′（x）=

1

x

+

e

x2

＞0，故g（x）在（0，+∞）上是增函数．
又g（e）=0，∴函数g（x）的零点仅有一个为x=e．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|g（x）|-1，当 0＜x＜e 时，g（x）＜0 且g（x）单调递增，故函数f（x）单调递减．
当  x＞e 时，g（x）＞0 且g（x）单调递增，故函数f（x）单调递增．
故f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（0，e）．
（Ⅲ）f（x）＞0恒成立，等价于|lnx-

a

x

|＞1，等价于 lnx-

a

x

|＞1，或 lnx-

a

x

＜-1．
①若  lnx-

a

x

＞1，则 a＜xlnx-x 恒成立，令h（x）=xlnx-x，h′（x）=lnx，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是减函数．
当 x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，故h（x）的最小值为h（1）=-1，从而有a＜-1．
②若 lnx-

a

x

＜-1，则 a＞xlnx-x 恒成立，由x＞0 可得，这不可能恒成立．
综上可得，实数a的取值范围为（-∞，-1）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．