Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′，
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；
（Ⅲ）若b=，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：在正方体中，， 又由已知可得， 所以， 所以PH⊥平面PQEF， 所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， 又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1， 所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是 ，是定值．
（Ⅲ）解：设AD′交PF于点N，连结EN， 因为AD′⊥平面PQEF， 所以∠D′EN为D′E与平面PQEF所成的角， 因为， 所以P，Q，E，F分别为 AA′，BB′，BC，AD的中点， 可知， 所以。