Question

国家加大水利工程建设，某地区要修建一条灌溉水渠，其横断面为等腰梯形（如图），底角A为60⁰，考虑到坚固性及用料原因，要求其横断面的面积为6

3

平方米，记水渠深为x米，用料部分的周长（即渠底BC及两腰长的和）为y米，
（1）．求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
（2）．当水渠的腰长x为多少米时，水泥用料最省（即断面的用料部分的周长最小）？求此时用料周长的值
（3）．如果水渠的深限制在[3，

3

]范围内时，横断面用料部分周长的最小值是多少米？

Answer 1

分析：（1）求y关于x的函数关系式，关键是求渠底BC及两腰的长；
（2）先利用解直角三角形知识求横截面的周长，再结合基本不等式求出周长面积的最小值即可；
（3）先利用函数单调性的定义探求（2）中周长函数的单调性，再结合所给自变量的范围即可求横截面周长的最小值．

解答：解：（1）由AD=BC+2

x

3

，及S=

1

2

(AD+BC)x=6

3

，
得BC=

6 3

x

-

x

3

，又

x≥0 BC= 6 3 x - x 3 ＞0

，得0＜x＜3

2

，-----------------------（4分）
所以y=BC+2AB=

6 3

x

+

3

x，定义域为(0，3

2

)------------------------（6分）
（2）y=

6 3

x

+

3

x≥2

6 3 x • 3 x

=6

2

，当且仅当，即x=

6

∈(0，12)时等号成立，
所以用料周长最少为6

2

米，此时腰长为

6

米．----------------------（10分）
（3）x∈[3，2

3

]，y=

3

(x+

6

x

)递增，所以x=3时，ymin=5

3

米-------------------------（15分）

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、函数在实际问题中的应用等知识，对于（3）问应主要利用函数的单调性求解，属于中档题．