Question

如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为CD的中点，F为AE的中点．现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列两问：

（Ⅰ）在线段AB上是否存在一点K，使BC∥面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若面ADE⊥面ABCE，求证：面BDE⊥面ADE．

Answer 1

解：（Ⅰ）线段AB上存在一点K，且当时，BC∥面DFK，
证明如下：
设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH，
又∵，F为AE的中点，
∴KF∥EH，∴KF∥BC，
∵KF?面DFK，BC?面DFK，
∴BC∥面DFK．
（II）∵在折起前的图形中E为CD的中点，AB=2，BC=1，
∴在折起后的图形中：，
从而AE²+BE²=4=AB²
∴AE⊥BE．
∵面ADE⊥面ABCE，面ADE∩面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE，
∵BE?平面BDE，∴面BDE⊥面ADE．
分析：（Ⅰ）线段AB上存在一点K，且当时，BC∥面DFK；设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH，利用三角形的中位线定理即可证明FK∥BC，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）利用勾股定理的逆定理即可证明BE⊥AE，又面ADE⊥面ABCE，利用面面垂直的性质可得BE⊥平面ADE，再利用面面垂直的判定定理即可证明结论．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、勾股定理的逆定理、面面垂直的性质和判定定理、线面垂直的判定定理是解题的关键．