Question

已知以C（2，0）为圆心的圆C和两条射线y=±x，（x≥0）都相切，设动直线L与圆C相切，并交两条射线于A、B，求线段AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：设直线L的方程为y=kx+b．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），通过得求出A，通过得B，利用中点坐标公式得：k=，b=，通过圆C与y=±x都相切，推出（y²-x²）+4x（y²-x²）-2（y²-x²）=0，推出轨迹方程．
解答：解：设直线L的方程为y=kx+b．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
由得A（），（k≠1）
由得B（），
∴
由①②得：k=，b=  ③
∵圆C与y=±x都相切
∴圆C的半径r=．
∵AB：kx-y+b=0与圆C相切，
∴=，即2k²+4kb+b²-=0  ④
将③代入④（y²-x²）+4x（y²-x²）-2（y²-x²）=0
∵y²≠x²，∴y²-x²+4x-2=0即（x-2）²-y²=2．（y≠0）
当L⊥x轴时，线段AB的中点M（2±，0）也符合上面的方程，其轨迹在∠AOB内．
点评：本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，恰当消元利用已知条件是解题的关键，考查计算能力．