Question

把离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”，如图的两个相似椭圆，分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，且q（q＞1）是这两个椭圆长轴的长的比值，那么q=

2

．

Answer 1

分析：设外椭圆的方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），内椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用e=

c1

m

=

c2

a

结合合比定理即可求得q．

解答：解：设外椭圆的方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），c₁为其半焦距，
内椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c₂，
∵两椭圆的离心率相等，
∴e=

c1

m

=

c2

a

，
∴

m

a

=

c1

c2

，
∴(

m

a

)2=(

c1

c2

)2=

m2-c12

a2-c22

=

n2

b2

，
∴

m

a

=

c1

c2

=

n

b

，①
依题意P（a，b）为外椭圆为

x2

m2

+

y2

n2

=1上的点，
∴

a2

m2

+

b2

n2

=1②
由①②得：2

a2

m2

=1，
∴

a2

m2

=

1

2

，

m2

a2

=2，
∴

m

a

=

2

．即q=

2m

2a

=

m

a

=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查转化思想与运算能力，考查合分比定理，属于难题．