Question

9．已知现有4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长是2+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高，再根据正四面体的棱长与高的关系求得棱长．．

解答 解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为$\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的$\frac{1}{4}$，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，
∴小正四面体的中心到底面的距离$\frac{2\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{6}}{6}$=，正四面体的中心到底面的距离是$\frac{\sqrt{6}}{6}+1$，所以可知正四面体的高的最小值为（$\frac{\sqrt{6}}{6}$+1）×4=4+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
设正四面体的棱长为m，$\frac{\sqrt{6}}{3}m=4+\frac{2\sqrt{6}}{3}$，解得m=$2+2\sqrt{6}$，
故答案为：2+2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了正四面体与球心的相切问题，小球的半径与两个四面体棱长的关系，是解题的关键，属于中档题．