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已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2
3
6
,这个长方体的对角线长为
6
6
;它的外接圆的体积为
6
π
6
π
分析:由题意设三个边的长分别是a,b,c,则有ab=
2?
,bc=
3?
,ca=
6?
,由此求出a,b,c的值,由公式求出对角线的长,再利用对角线长即为它的外接球的直径求出半径后得到体积即可.
解答:解:可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a,b,c,
列出方程组
ab=
2
bc=
3
ac=
6

解得
a=
2
b=1
c=
3

故长方体的对角线长是
1+2+3
=
6

∵对角线长即为它的外接球的直径求出半径,
∴它的外接球的半径为
6
2

它的外接球的体积为V=
4
3
π×R3=
4
3
×π×(
6
2
)
3
=
6
π

故答案为
6
6
π
点评:本题考点是棱柱的结构特征,考查根据题目中所给的条件求出三个棱长的长度,再由球体的体积公式求出体积的能力,本题直接利用公式建立方程求解,题目较易.
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已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2
3
6
,这个长方体的对角线长是
6
6
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15
15

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