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已知函数.
(Ⅰ)求的极值; 
(II)判断y=f(x)的图像是否是中心对称图形,若是求出对称中心并证明,否则说明理由;
(III)设的定义域为,是否存在.当时,的取值范围是?若存在,求实数的值;若不存在,说明理由

的一个极大值, 是的一个极小值.
不存在

解:(I)  .注意到,即
.所以当变化时,的变化情况如下表:

所以的一个极大值, 是的一个极小值.

证法1:方程(曲线)观点要证f(x)的图像关于对称,只需证明点Q也在y=f(x)上,即证

 
(II) 点的中点是,所以的图象的对称中心只可能是.

 
的图象上一点,关于的对称点是Q
,又
所以

证2:函数的观点证明中心对称:要证y=f(x)图像关于点对称,只需证

 
即点也在函数y=f(x)的图像上。

 
的图象上一点,关于的对称点是……
(III) 假设存在实数.,.
, 当时, ,而.故不可能…
,当时, ,而.故不可能….
,由的单调递增区间是,知的两个解.而无解. 故此时的取值范围是不可能是.
综上所述,假设错误,满足条件的实数不存在.
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