Question

已知幂函数满足。
（1）求实数k的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使函数，在区间上的最大值为5。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）k的值为0或1，
（2）

本试题主要考查了函数的解析式的求解和函数的最值的运用。第一问中利用，幂函数满足，得到
因为，所以k=0，或k=1，故解析式为
（2）由（1）知，，，因此抛物线开口向下，对称轴方程为：，结合二次函数的对称轴，和开口求解最大值为5.，得到
（1）对于幂函数满足，
因此，解得，………………3分
因为，所以k=0，或k=1，当k=0时，，
当k=1时，，综上所述，k的值为0或1，。………………6分
（2）函数，………………7分
由此要求，因此抛物线开口向下，对称轴方程为：，
当时，，因为在区间上的最大值为5，
所以，或…………………………………………10分
解得满足题意