Question

已知数列a_n满足：a₁=2，a_n+1=2a_n+1；
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列n（a_n+1）的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由已知可得a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），由等比数列的定义可得；
（2）由（1）可得a_n+1=3×2^n-1，进而可得a_n=3×2^n-1-1；
（3）由（2）可得n（a_n+1）=3n×2^n-1，下由错位相减法求和可得．

解答：解：（1）由已知可得a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），
故可得数列{a_n+1}是2为公比的等比数列；
（2）由（1）可知数列{a_n+1}的公比为2，首项为3
故可得a_n+1=3×2^n-1，故a_n=3×2^n-1-1；
（3）由（2）可得n（a_n+1）=3n×2^n-1，
故数列n（a_n+1）的前n项和
S_n=3（1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1） ①
两边同乘以2可得：
2S_n=3（1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ） ②
①-②可得：-S_n=3（1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-n×2ⁿ）
=3（

1-2n

1-2

-n×2ⁿ）=3（1-n）2ⁿ-3，
故S_n=3（n-1）2ⁿ+3

点评：本题考查错位相减法求和，涉及等比关系的确定，属中档题．