Question

（本小题满分13分）已知函数f (x)=2n在［0,+上最小值是a（n∈N*）.

(1)求数列{a}的通项公式；(2)已知数列{b}中，对任意n∈N*都有ba =1成立，设S为数列{b}的前n项和，证明：2S<1;(3)在点列A(2n,a)中是否存在两点A,A(i,j∈N*)，使直线AA的斜率为1？若存在，求出所有的数对（i,j）；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)  a=  (Ⅱ) 略  （Ⅲ）不存在

解析:

：解：（1）由f (x)=2n得f ′(x)=，f (0)=2n.

令f ′(x)=0得x=,当x∈(0,)时，f ′(x)<0,

当x∈(,+∞)时，f ′(x)>0，∴f (x)在（0，+∞）上，f ()=,

当x=时取得最小值.∴a=.

(2)证明：∵ba=1,∴b=.∵=,

∴S=.∴2S<1.

（3）不存在，假设存在两点Ai,Aj满足题意，即k=1， 令x=2n,y=a，则y= (x≥2)

点(x,y)在曲线x-y=1(x≥2,y≥1)上，而双曲线的一条渐近线方程为y=x，其斜率为1,A,A在双曲线上，故k<1矛盾.

另解：不存在，设A (2i,a),A(2j,a)，（其中i,j∈N*）,

则k=

==1,故不存在.