Question

已知，，
（1）当m=2时，求f（x）的值域；
（2）若f（x）的最大值为3．求实数m的值．

Answer 1

解：（1）当m=2时，依题得f（x）=-（2m+）sinx=1+sinx+cos²x-sinx=-（sinx+2）²+6．
又∵x∈[0，]，sinx∈[0，1]，∴f（x）∈[-3，2]．
（2）由于f（x）=-（sinx+m）²+m²+2，
令t=sinx则 g（t）=-（t+m）²+m²+2，t∈[0，1]．
①当-m≤0，即m≥0时，g（t）_max=g（0）=2≠3，不符题意．
②当-m≥1，即m≤-1时，由于g（t）_max=g（1）=3，可得m=-1．
③当0＜-m＜1，即-1＜m＜0时，，m无 解．
综上知：m=-1．
分析：（1）当m=2时，依题利用两个向量的数量积公式求得f（x）=-（sinx+2）²+6，由x的范围求得sinx的范围，从而得到f（x）的值域．
（2）由于f（x）=-（sinx+m）²+m²+2，令t=sinx则 g（t）=-（t+m）²+m²+2，t∈[0，1]．分-m≤0、-m≥1、0＜-m＜1三种情况，利用二次函数的性质求得g（t）_max的值，再根据g（t）_max=3求出m的值．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，二次函数的性质，求函数的值域，属于中档题．