Question

设定义域为R的函数f（x）=

|x+1|，x≤0 x2-2x+1，x＞0

（Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；
（Ⅱ）若方程f（x）+2a=0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）．
（Ⅲ）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x＞0时，g（x）=f（x），求g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数解析式，可得函数的图象，从而可得函数的单调区间；
（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出y=f（x），y=-2a图象，由图可知f（x）+2a=0有两个解，须-2a=0或-2a＞1，从而可求a的取值范围；
（Ⅲ）求出x＜0时，函数的解析式，即可求得g（x）的解析式．

解答：解 （Ⅰ）如图．…（3分）
单增区间：[-1，0]，[1，+∞）单减区间（-∞，-1]，[0，1]…（5分）
（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出y=f（x），y=-2a图象，由图可知f（x）+2a=0有两个解
须-2a=0或-2a＞1，即a=0或a＜-

1

2

   …（8分）
（Ⅲ）当x＜0时，-x＞0，∴g（-x）=（-x）²-（-2x）+1=x²+2x+1，
因为g（x）为奇函数，所以g（x）=-x²-2x-1，…（10分）
且g（0）=0，所以g（x）=

x2-2x+1，x＞0 0，x=0 -x2-2x-1，x＜0

…（12分）

点评：本题考查分段函数的运用，考查函数的图象，考查数形结合的数学思想，正确做好函数的图象是关键．