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    过半径为R的球面上的一点M作三条两两垂直的弦MA、MB、MC

    (1)

    求证：MA2＋MB2＋MC2为定值

    (2)

    求三棱锥M－ABC的体积的最大值

    答案：
    解析：

    (1)

    　　∵MA、MB、MC两两垂直，

    　　∴MA、MB、MC为球的内接长方体交于一点的三条棱，故MA2＋MB2＋MC2＝(2R)2＝4R2(定值)

    (2)

    V三棱锥M—ABC＝V三棱锥－MBC＝×MA××MB×MC＝MA·MB·MC

    　　∴V2＝MA2·MB2·MC2≤＝R6

    上式当且仅当MA＝MB＝MC时取等号

    　　∴V最大＝R3


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