Question

16．已知f（x）是二次函数，且f（-1）=4，f（0）=1，f（3）=4．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[t，t+1]，t∈R上的最小值．

Answer 1

分析 （1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，由题意可得a，b，c的方程组，解方程组可得；
（2）由二次函数区间的最值，分类讨论可得．

解答 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=a-b+c=4}\\{f（0）=c=1}\\{f（3）=9a+3b+c=4}\end{array}\right.$，
解方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）的解析式为f（x）=x²-2x+1；
（2）由（1）可得f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
当t+1≤1即t≤0时，函数f（x）在[t，t+1]单调递减，
∴当x=t+1时，函数f（x）取最小值f（t+1）=t²；
当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]单调递增，
∴当x=t时，函数f（x）取最小值f（t+1）=（t-1）²；
当0＜t＜1时，函数f（x）在[t，1]单调递减，在[1，t+1]单调递增
∴当x=1时，函数f（x）取最小值f（1）=0

点评 本题考查函数解析式求解的待定系数法求，涉及二次函数区间的最值和分类讨论的思想，属中档题．