Question

16．已知函数f（x）=（m-2）x²+（m²-4）x+m是偶函数，函数g（x）=-x³+2x²+mx+5在（-∞，+∞）内单调递减，则实数m等于-2．

Answer 1

分析 若函数f（x）=（m-2）x²+（m²-4）x+m是偶函数，则m²-4=0，若函数g（x）=-x³+2x²+mx+5在（-∞，+∞）内单调递减，则故g′（x）=-3x²+4x+m≤0恒成立，则△=16+12m＜0，解得答案．

解答 解：∵函数f（x）=（m-2）x²+（m²-4）x+m是偶函数，
故f（-x）=f（x），
即（m-2）x²-（m²-4）x+m=（m-2）x²+（m²-4）x+m
即函数的一次项系数m²-4=0，
解得：m=±2，
又由函数g（x）=-x³+2x²+mx+5在（-∞，+∞）内单调递减，
故g′（x）=-3x²+4x+m≤0恒成立，
即△=16+12m＜0，
解得：m＜$-\frac{4}{3}$，
故m=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．