Question

若数列A_n=a₁，a₂，…，a_n（n≥2）满足|a_n+1-a₁|=1（k=1，2，…，n-1），数列A_n为E数列，记S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n，
（Ⅰ）写出一个满足a₁=a₅=0，且S(A₅)＞0的E数列A_n；
（Ⅱ）若a₁=12，n=2000，证明：E数列A_n是递增数列的充要条件是a_n=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列A_n，使得S(A_n)=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列A_n；如果不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A₅。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A₅）
（Ⅱ）必要性：因为E数列A₅是递增数列，所以，
所以A₅是首项为12，公差为1的等差数列，
所以a₂₀₀₀=12+（2000-1）×1=2011；
充分性，由于a₂₀₀₀-a₁₉₉₉≤1，
a₁₉₉₉-a₁₉₉₈≤1，
……
a₂-a₁≤1，
所以a₂₀₀₀-a₁≤1999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999，
又因为a₁=12，a₂₀₀₀=2011，
所以a₂₀₀₀=a₁+1999，
故，即A_n是递增数列；
综上，结论得证。
（Ⅲ）令，则，
因为，
……，
，
所以

因为，所以1-c_k为偶数（k=1，…，n-1），
所以为偶数，
所以要使，必须使为偶数，
即4整除n（n-1），亦即n=4m或n=4m+1（m∈N*），
当n=4m+1（m∈N*）时，E数列A_n的项满足，
时，有；
时，有；
当n=4m+1（m∈N*）时，E数列An的项满足，；
当n=4m+2或n=4m+3（m∈N）时，n（m-1）不能被4整除，
此时不存在E数列A_n，使得。