Question

已知函数f(x)＝－a²x²＋ax＋lnx(a∈R)．

(Ⅰ)我们称使f(x)＝0成立的x为函数的零点．证明：当a＝1时，函数f(x)只有一个零点；

(Ⅱ)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)当a＝1时，，其定义域为(0，＋∞)，1分 　　，令， 　　解得或，又∵x＞0，故x＝1，3分 　　当0＜x＜1时，； 　　当x＞1时，， 　　∴函数在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，5分 　　当x＝1时，函数取得最大值，即， 　　所以函数只有一个零点；(6分) 　　(Ⅱ)因为，其定义域为(0，＋∞)， 　　所以，8分 　　(1)当a＝0时，， 　　所以在区间(0，＋∞)上为增函数，不合题意．(10分) 　　(2)当a＞0时，等价于， 　　即x＞，此时，的单调减区间为(，＋∞)，依题意， 　　得，解之得．(12分) 　　(3)当a＜0时，等价于， 　　即0＜x＜，此时的单调减区间为(0，)，不合题意．14分 　　综上所述，实数a的取值范围是．(15分)