Question

已知A、B、C三点均在椭圆M：（a＞1）上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F₁、F₂，当，有9．
（I）求椭圆M的方程；
（II）设P是椭圆M上任意一点，求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可得AF₂⊥F₁F₂． 设|AF₂|=m，则|AF₁|=2a-m，再由勾股定理可得am=1．利用两个向量的夹角公式求出cos，再利用两个向量的数量积的定义，结合
9 可得 m=，故有 a²=2，由此求得椭圆M的方程．
（II）由上可得 F₁（-1，0），F₂（1，0），设P（x，y），化简=x²+y²-1，再由 可得 =1-y²．由于-1≤y≤1，0≤y²≤1，
从而得到=1-y²的最大值和最小值．
解答：解：（I）∵，∴，即 AF₂⊥F₁F₂．  设|AF₂|=m，则|AF₁|=2a-m．
再由勾股定理可得 （2a-m）²=m²+（2c）² 且 c²=a²-1，故 am=1．
又 cos==，∴|AF₂|=•|AF₁|．
再由 9  可得，9•|AF₁|•（•|AF₁|）•=，即 =1，
解得 m=，故有 a²=2，故椭圆M的方程为 ．

（II）由上可得 F₁（-1，0），F₂（1，0），设P（x，y），=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x²+y²-1．
再由P是椭圆M上任意一点， 可得 =1-y²．
由题意可得-1≤y≤1，0≤y²≤1，故=1-y²的最大值为1，最小值等于0．
点评：本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．