Question

已知函数f（x）=cos2x+1+

3

sin2x；求
（1）函数f（x）的周期；
（2）函数f（x）的单调递减区间；
（3）函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最值．

Answer 1

分析：由题设条件，先对函数f（x）化简，将其整理成f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1
（1）由求周期公式求出周期，由于ω=2，周期易求；
（2）由正弦函数的性质，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，解出x的取值范围即得到函数的递减区间；
（3）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最值，可先求出相位2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，再求出sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，进而求出函数的最值．

解答：解：f(x)=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1…（4分）
（1）最小正周期T=

2π

2

=π；                …（6分）
（2）当2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

k∈Z时，函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]k∈Z．…（10分）
（3）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f(x)max=f(

π

6

)=3，f(x)min=f(

π

2

)=0．…（14分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式，利用公式进行化简，熟练掌握正弦函数的性质也很关键，本题中考查了求函数在某个区间上的值域的方法，由内而外求出函数的取值范围，注意在解题时应用此方法，三角函数最值用此方法求解比用单调性求解简单不少．