Question

有甲乙两个学校进行了一门课程的考试，某同学为了研究成绩与学校是否有关，他进行了如下实验：先将甲校和乙校各300名同学编成1～300号，然后用系统抽样的方法各抽取了20名同学（两校学生抽取号码相同），记录下他们的成绩如下表，表格中部分编号用“×”代替，空缺编号需补充．

编号		18		48		78			123
甲校	75	92	68	92	95	86	75	88	78	45
乙校	92	62	66	77	83	65	77	62	56	82
编号	×	×	×	×	×	×	×	×	×	×
甲校	86	77	85	56	82	77	86	78	88	78
乙校	78	85	66	56	55	91	65	77	79	65

（1）把表格中空白处的编号补充完整．
（2）若规定该课程分数在80分以上为“优秀”，80分以下为“非优秀”
（Ⅰ）从乙校成绩为“优秀”的学生中随机抽取2人，求两人的分数都不高于90分的概率．
（Ⅱ）试分析有多大把握认为“成绩与学校有关系”．

Answer 1

分析：（1）由题意知将300名同学编成1～300号，系统抽样的方法各抽取20名同学，得到在系统抽样中分段的间隔，根据间隔的大小做出要抽取得号数，即用所给的号数减去间隔数得到前一个空白．
（2）（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是乙校“优秀”学生共有5人，从中抽取2人列出共10种，其中两人的分数都不高于90分共3种，得到概率．
（II）根据所给的数据列出列联表，根据列联表把数据代入求观测值的公式，做出观测值，同临界值进行比较，得到对应的概率，得到有1-0.15=85%的把握认为“成绩与学校有关系”．

解答：解：（1）∵将甲校和乙校各300名同学编成1～300号，然后用系统抽样的方法各抽取了20名同学，
∴在系统抽样中分段的间隔是

300

20

=15
∴编号为：3，33，63，93，108，138        …（2分）
（2）（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件是乙校“优秀”学生共有5人，从中抽取2人列出共10种，
其中两人的分数都不高于90分共3种，
所以P=

3

10

．    …（7分）
（II）列出成绩与学校的2×2列联表

	优秀	非优秀	总计
甲校	10	10	20
乙校	5	15	20
总计	15	25	40

…（9分）
∴K²=

40(10×15-5×10)2

(10+10)(5+15)(10+15)(10+5)

≈2.677＞2.072  …（11分）
∵P（K²=2.072）=0.15
所以有1-0.15=85%的把握认为“成绩与学校有关系”．            …（12分）

点评：本题考查独立性检验的应用，考查等可能事件的概率及系统抽样，本题解题的关键是正确应用求观测值的公式，理解临界值对应的概率的意义，本题是一个综合题目．