Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点是F₁和F₂，长轴是A₁A₂，P是椭圆上异于A₁、A₂的点，考虑如下四个命题：
①|PF₁|-|A₁F₁|=|A₁F₂|-|PF₂|；        
②a-c＜|PF₁|＜a+c；
③若b越接近于a，则离心率越接近于1；
④直线PA₁与PA₂的斜率之积等于-

b2

a2

．
其中正确的命题是（　　）

• A、①②④
• B、①②③
• C、②③④
• D、①④

Answer 1

分析：①由椭圆的定义和性质可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，|A₁F₁|+|A₁F₂|=a-c+a+c=2a，即可判断出；
②由|A₁F₁|＜|PF₁|＜|AF₂|，即可判断出；
③由离心率计算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

可知：b越接近于a，则离心率越接近于0，即可判断出；
④设P（x，y）（x≠±a），由

x2

a2

+

y2

b2

=1可得y2=b2(1-

x2

a2

)=

b2

a2

(a2-x2)，再利用斜率计算公式即可得出．

解答：解：①由椭圆的定义和性质可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，|A₁F₁|+|A₁F₂|=a-c+a+c=2a，
∴|A₁F₁|+|A₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，∴|PF₁|-|A₁F₁|=|A₁F₂|-|PF₂|，因此正确；
②∵|A₁F₁|＜|PF₁|＜|AF₂|，∴a-c＜|PF₁|＜a+c，因此正确；
③由离心率计算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

可知：b越接近于a，则离心率越接近于0，因此③不正确；
④设P（x，y）（x≠±a），由

x2

a2

+

y2

b2

=1可得y2=b2(1-

x2

a2

)=

b2

a2

(a2-x2)，
则kPA1•kPA2=

y-0

x+a

•

y-0

x-a

=

y2

x2-a2

=

b2 a2 (a2-x2)

x2-a2

=-

b2

a2

，因此④正确．
综上可知：正确的是①、②、④．
故选：A．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于难题．