Question

【题目】我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知焦点在x轴上的双曲线C的离心率e＝，焦点到其渐近线的距离为2．直线y＝0与y＝2在第一象限内与双曲线C及其渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由题意得双曲线方程为=1，y=2在第一象限内与渐近线的交点N的坐标和与双曲线

第一象限交点B的坐标，记y=2与y轴交于点M，由π|MB|2﹣π|MN|2=π，根据祖晅原理，

能求出它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积．

由题得，所以a=1,b=2.

∴双曲线方程为=1，

y=2在第一象限内与渐近线y=2x的交点N的坐标为（，2），

y=2与双曲线=1在第一象限交点B的坐标为（，2），

记y=2与y轴交于点M（0，2），A（1，0），

∵π|MB|2﹣π|MN|2==π，

根据祖晅原理，它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为=2π．

故答案为：2π．