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选修4-1几何证明选讲

如图,D,E分别是AB,AC边上的点,且不与顶点重合,已知AE=m,AC=n,AD,AB为方程x2-14x+mn的两根

(1)证明C,B,D,E四点共圆;

(2)若∠A=90°,m=4,n=6,求C,B,D,E四点所在圆的半径.

答案:
解析:

  (Ⅰ)连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,

  

  即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB

  因此∠ADE=∠ACB

  所以C,B,D,E四点共圆.

  (Ⅱ)m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故AD=2,AB=12.

  取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.

  由于∠A=900,故GH∥AB,HF∥AC.

  HF=AG=5,DF=(12-2)=5.

  故C,B,D,E四点所在圆的半径为5


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