Question

如图所示，I为△ABC的内心，求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．

Answer 1

证明：连接OB、BI、OC，
由O是外心知∠IOC=2∠IBC．
由I是内心知∠ABC=2∠IBC．
从而∠IOC=∠ABC．
同理∠IOB=∠ACB．
而∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
故∠BOC+∠A=180°，
于是O、B、A、C 四点共圆．
分析：如图，连接OB、BI、OC，由O是外心知∠IOC=2∠IBC，由I是内心知∠ABC=2∠IBC，然后利用三角形的内角和定理即可证明∠BOC+∠A=180°，接着即可证明△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．
点评：此题主要考查了四点共圆的问题，解题的关键是利用三角形的外心和内心得到角的关系，然后利用三角形的内角和解决问题．