Question

设n∈N^*，0＜x＜1，f（n）=1-（1-xⁿ）²，g（n）=[1-（1-x）²]ⁿ，试比较f（n）与g（n）的大小，并证明你的结论．

Answer 1

证明：f（n）=（2-xⁿ）xⁿ，g（x）=xⁿ（2-x）ⁿ（2分）
比较f（n）与g（n）的大小，即比较2-xⁿ与（2-x）ⁿ的大小． （3分）
猜想：（2-x）ⁿ≥2-xⁿ（当且仅当n=1时，等号成立） （5分）
下面用数学归纳法加以证明：
（1）当n=1时，显然（2-x）¹≥2-x，成立，n=2时，左边=（2-x）²=4-4x+x²，右边=2-x²，
因为4-4x+x²-2+x²=2（1-2x+x²）=2（1-x）²＞0，成立． （7分）
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时，猜想成立，即（2-x）^k＞2-x^k（8分）
当n=k+1时，（2-x）^k+1=（2-x）（2-x）^k＞（2-x）（2-x^k）（注：0＜x＜1）
要证猜想成立，只需证明（2-x）（2-x^k）＞2-x^k+1（11分）
即证x^k+1-x^k-x+1＞0亦即（x-1）（x^k-1）＞0
由0＜x＜1易得上式成立，即n=k+1时，猜想成立． （13分）
综上（1）（2）可知，猜想成立． （14分）
（另证：令x=1-t，要证（2-x）ⁿ＞2-xⁿ，即证（1-t）ⁿ+（1+t）ⁿ＞2，由二项式定理展开，易得证．酌情给分）
分析：化简f（n）与g（n）的表达式，猜想（2-x）ⁿ≥2-xⁿ（当且仅当n=1时，等号成立），下面用数学归纳法加以证明：验证当n=1，2时，猜想成立，假设当n=k（k≥2，k∈N）时，猜想成立，即（2-x）^k＞2-x^k，证明当n=k+1时，猜想成立．
点评：本题考查数学归纳法的证明步骤的应用，考查数列与函数的关系，考查逻辑推理能力，计算能力．