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过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为(  )
分析:设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1,作出图形如图,由左顶点M在以AB为直径的圆的内部,得|MF|<|AF|,将其转化为关于a、b、c的式子,再结合平方关系和离心率的公式,化简整理得e2-e-2>0,解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围.
解答:解:设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1,a>b>0
则直线AB方程为:x=c,其中c=
a2+b2

因此,设A(c,y0),B(c,-y0),
c2
a2
-
y02
b2
=1,解之得y0=
b2
a
,得|AF|=
b2
a

∵双曲线的左焦点M(-a,0)在以AB为直径的圆内部
∴|MF|<|AF|,即a+c<
b2
a

将b2=c2-a2,并化简整理,得2a2+ac-c2<0
两边都除以a2,整理得e2-e-2>0,解之得e>2(舍负)
故选:C
点评:本题给出以双曲线通径为直径的圆,当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.
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