Question

给定矩阵A=

1 2 -1 4

，B=

5 3

；求A⁴B．

Answer 1

分析：由题意已知矩阵A=

1 2 -1 4

，将其代入公式|λE-A|=0，即可求出特征值λ₁，λ₂，然后解方程求出对应特征向量α₁，α₂，将矩阵B用征向量α₁，α₂，表示出来，然后再代入A⁴B进行计算即可．

解答：解：设A的一个特征值为λ，由题知

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=0
（λ-2）（λ-3）=0     λ₁=2，λ₂=3
当λ₁=2时，由

1 2 -1 4

x y

=2

x y

，得A的属于特征值2的特征向量α₁=

2 1

当λ₁=3时，由

1 2 -1 4

x y

=3

x y

，得A的属于特征值3的特征向量α₂=

1 1

由于B=

5 3

=2

2 1

+

1 1

=2α₁+α₂
故A⁴B=A⁴（2α₁+α₂）=2（2⁴α₁）+（3⁴α₂）=32α₁+81α₂
=

64 32

+

81 81

=

145 113

点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．