Question

如图，一个等腰直角三角形的硬纸片△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高，沿CD把△ABC折成直二面角．

⑴如果你手中只有一把能够量长度的直尺，应该如何确定A、B的位置，使得二面角A—CD—B是直二面角？证明你的结论．

⑵试在平面ABC上确定一点P，使DP与平面ABC内任意一条直线垂直，证明你的结论．

⑶如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出球的半径的最大值．

Answer 1

（本题满分14分）

解：⑴用直尺度量折后的AB长，若AB＝4cm，则二面角A-CD-B是直二面角

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝DB＝

又∵AD⊥DC，BD⊥DC，∴∠ADC为二面角A-CD-B的平面角  4分

⑵取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件

∵△ABC此时为正三角形，且AD＝DB＝DC

∵三棱锥D-ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心知DP⊥面ABC

∴DP与平面ABC内任意一条直线垂直    8分

（3）当小球半径最大时，此时小球与三棱锥的四个面都相切

设该小球的球心为O，半径为r，连结OA，OB，OC，OD

三棱锥被分成了四个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r

故有代入得即小球的半径最大

值为     14分